Движение тела брошенного к горизонту вывод формул. Движение тела, брошенного под углом к горизонту! Траектория движения тела, брошенное под углом к горизонту

Пусть тело брошено под углом к горизонту со скоростью . Как и в предыдущих случаях, будем пренебрегать сопротивлением воздуха. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат - Ox и Oy (рис. 1). Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Oy и Ox

Проекции ускорения:

Тогда движение тела будет описываться уравнениями:

Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно со скоростью , а в вертикальном - равноускоренно.

Траекторией движения тела будет парабола. Учитывая, что в верхней точке параболы , можно найти время подъема тела до верхней точки параболы:

Подставив значение в уравнение (3), найдем максимальную высоту подъема тела:

Время полета тела находим из условия, что при координата . Следовательно, . Отсюда, - время полета тела. Сравнивая эту формулу с формулой (5), видим, что . Время движения тела с максимальной высоты . Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты x (1) значение времени , найдем:

Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории (см. рис. 1). модуль скорости определяется по формуле

Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений - горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного (свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх).

Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, то брошенное как угодно тело движется с ускорением свободного падения .

Рассмотрим сначала движение тела, брошенного горизонтально со скоростью v_vec0 с высоты h над поверхностью земли (рис. 11.1).

В векторном виде зависимость скорости тела от времени t выражается формулой

В проекциях на оси координат:

v x = v 0 , (2)
v y = –gt. (3)

1. Объясните, как из (2) и (3) получаются формулы

x = v 0 t, (4)
y = h – gt 2 /2. (5)

Мы видим, что тело как бы совершает одновременно два вида движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно без начальной скорости.

На рисунке 11.2 показано положение тела через равные промежутки времени. Внизу показано положение в те же моменты времени тела, движущегося прямолинейно равномерно с той же начальной скоростью, а слева – положение свободно падающего тела.

Мы видим, что брошенное горизонтально тело находится все время на одной вертикали с движущимся равномерно телом и на одной горизонтали со свободно падающим телом.

2. Объясните, как из формул (4) и (5) получаются выражения для времени tпол и дальности полета тела l:

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что в момент падения y = 0.

3. Тело бросают горизонтально с некоторой высоты. В каком случае дальность полета тела будет больше: при увеличении в 4 раза начальной скорости или при увеличении во столько же раз начальной высоты? Во сколько раз больше?

Траекторий движения

На рисунке 11.2 траектория движения тела, брошенного горизонтально, изображена красной штриховой линией. Она напоминает ветвь параболы. Проверим это предположение.

4. Докажите, что для тела, брошенного горизонтально, уравнение траектории движения, то есть зависимость y(x), выражается формулой

Подсказка. Используя формулу (4), выразите t через x и подставьте найденное выражение в формулу (5).

Формула (8) действительно представляет собой уравнение параболы. Ее вершина совпадает с начальным положением тела, то есть имеет координаты x = 0; y = h, а ветвь параболы направлена вниз (на это указывает отрицательный коэффициент перед x 2).

5. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = 45 – 0,05x 2 .
а) Чему равны начальная высота и начальная скорость тела?
б) Чему равны время и дальность полета?

6. Тело брошено горизонтально с высоты 20 м с начальной скоростью 5 м/с.
а) Сколько времени будет длиться полет тела?
б) Чему равна дальность полета?
в) Чему равна скорость тела непосредственно перед ударом о землю?
г) Под каким углом к горизонту будет направлена скорость тела непосредственно перед ударом о землю?
д) Какой формулой в единицах СИ выражается зависимость модуля скорости тела от времени?

2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

На рисунке 11.3 схематически изображено начальное положение тела, его начальная скорость 0 (при t = 0) и ускорение (ускорение свободного падения ).

Проекции начальной скорости

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (10)

Для сокращения последующих записей и прояснения их физического смысла удобно до получения окончательных формул сохранять обозначения v 0x и v 0y .

Скорость тела в векторном виде в момент времени t и в этом случае выражается формулой

Однако теперь в проекциях на оси координат

v x = v 0x , (11)
vy = v 0y – gt. (12)

7. Объясните, как получаются следующие уравнения:

x = v 0x t, (13)
y = v 0y t – gt 2 /2. (14)

Мы видим, что и в этом случае брошенное тело как бы участвует одновременно в двух видах движения: вдоль оси x оно движется равномерно, а вдоль оси y – равноускоренно с начальной скоростью, как тело, брошенное вертикально вверх.

Траектория движения

На рисунке 11.4 схематически показано положение тела, брошенного под углом к горизонту, через равные промежутки времени. Вертикальные линии подчеркивают, что вдоль оси x тело движется равномерно: соседние линии находятся на равных расстояниях друг от друга.

8. Объясните, как получить следующее уравнение траектории тела, брошенного под углом к горизонту:

Формула (15) представляет собой уравнение параболы, ветви которой направлены вниз.

Уравнение траектории может многое рассказать нам о движении брошенного тела!

9. Зависимость y(x) выражается в единицах СИ формулой y = √3 * x – 1,25x 2 .
а) Чему равна горизонтальная проекция начальной скорости?
б) Чему равна вертикальная проекция начальной скорости?
в) Под каким углом к горизонту брошено тело?
г) Чему равна начальная скорость тела?

Параболическую форму траектории тела, брошенного под углом к горизонту, наглядно демонстрирует струя воды (рис. 11.5).

Время подъема и время всего полета

10. Используя формулы (12) и (14), покажите, что время подъема тела t под и время всего полета t пол выражаются формулами

Подсказка. В верхней точке траектории v y = 0, а в момент падения тела его координата y = 0.

Мы видим, что и в этом случае (так же, как для тела, брошенного вертикально вверх) все время полета t пол в 2 раза больше времени подъема t под. И в этом случае при обратном просмотре видеосъемки подъем тела будет выглядеть в точности как его спуск, а спуск – как подъем.

Высота и дальность полета

11. Докажите, что высота подъема h и дальность полета l выражаются формулами

Подсказка. Для вывода формулы (18) воспользуйтесь формулами (14) и (16) или формулой (10) из § 6. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении; для вывода формулы (19) воспользуйтесь формулами (13) и (17).

Обратите внимание: время подъема тела tпод, все время полета tпол и высота подъема h зависят только от вертикальной проекции начальной скорости.

12. До какой высоты поднялся после удара футбольный мяч, если он упал на землю через 4 с после удара?

13. Докажите, что

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (9), (10), (18), (19).

14. Объясните, почему при одной и той же начальной скорости v 0 дальность полета l будет одинакова при двух углах α 1 и α 2 , связанных соотношением α 1 + α 2 = 90º (рис. 11.6).

Подсказка. Воспользуйтесь первым равенством в формуле (21) и тем, что sin α = cos(90º – α).

15. Два тела, брошенные одновременно и с одинаковой по модулю начальной око одну точку. Угол между начальными скоростями равен 20º. Под какими углами к горизонту были брошены тела?

Максимальные дальность и высота полета

При одной и той же по модулю начальной скорости дальность полета и высота определяются только углом α. Как выбрать этот угол, чтобы дальность или высота полета были максимальными?

16. Объясните, почему максимальная дальность полета достигается при α = 45º и выражается формулой

l max = v 0 2 /g. (22)

17.Докажите, что максимальная высота полета выражается формулой

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18.Тело, брошенное под углом 15º к горизонту, упало на расстоянии 5 м от начальной точки.
а) Чему равна начальная скорость тела?
б) До какой высоты поднялось тело?
в) Чему равна максимальная дальность полета при той же по модулю начальной скорости?
г) До какой максимальной высоты могло бы подняться это тело при той же по модулю начальной скорости?

Зависимость скорости от времени

При подъеме скорость брошенного под углом к горизонту тела уменьшается по модулю, а при спуске – увеличивается.

19.Тело брошено под углом 30º к горизонту с начальной скоростью 10 м/с.
а) Как в единицах СИ выражается зависимость vy(t)?
б) Как в единицах СИ выражается зависимость v(t)?
в) Чему равна минимальная скорость тела во время полета?
Подсказка. Воспользуйтесь формулами (13) и (14), а также теоремой Пифагора.

Дополнительные вопросы и задания

20. Бросая камешки под разными углами, Саша обнаружил, что не может бросить камешек дальше чем на 40 м. На какую максимальную высоту Саша сможет забросить камешек?

21. Между сдвоенными шинами заднего колеса грузовика застрял камешек. На каком расстоянии от грузовика должен ехать следующий за ним автомобиль, чтобы этот камешек, сорвавшись, не причинил ему вреда? Оба автомобиля едут со скоростью 90 км/ч.
Подсказка. Перейдите в систему отсчета, связанную с любым из автомобилей.

22. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы:
а) высота полета была равна дальности?
б) высота полета была в 3 раза больше дальности?
в) дальность полета была в 4 раза больше высоты?

23. Тело брошено с начальной скоростью 20 м/с под углом 60º к горизонту. Через какие промежутки времени после броска скорость тела будет направлена под углом 45º к горизонту?

Когда изучают механическое движение в физике, то после ознакомления с равномерным и равноускоренным перемещением объектов, переходят к рассмотрению движения тела под углом к горизонту. В данной статье изучим подробнее этот вопрос.

Что собой представляет движение тела под углом к горизонту?

Этот тип перемещения объектов возникает, когда человек бросает камень в воздух, пушка совершает выстрел ядром, или вратарь выбивает от ворот футбольный мяч. Все подобные случаи рассматриваются наукой баллистикой.

Отмеченный вид перемещения объектов в воздухе происходит по параболической траектории. В общем случае проведение соответствующих расчетов является делом не простым, поскольку необходимо учитывать сопротивление воздуха, вращение тела во время полета, вращение Земли вокруг оси и некоторые другие факторы.

В данной статье мы не будем учитывать все эти факторы, а рассмотрим вопрос с чисто теоретической точки зрения. Тем не менее, полученные формулы достаточно хорошо описывают траектории тел, перемещающихся на небольшие расстояния.

Получение формул для рассматриваемого вида движения

Выведем тела к горизонту под углом. При этом будем учитывать только одну-единственную силу, действующую на летящий объект - силу тяжести. Поскольку она действует вертикально вниз (параллельно оси y и против нее), то, рассматривая горизонтальную и вертикальную составляющие движения, можно сказать, что первая будет иметь характер равномерного прямолинейного перемещения. А вторая - равнозамедленного (равноускоренного) прямолинейного перемещения с ускорением g. То есть, компоненты скорости через значение v 0 (начальная скорость) и θ (угол направления движения тела) запишутся так:

v x = v 0 *cos(θ)
v y = v 0 *sin(θ)-g*t

Первая формула (для v x) справедлива всегда. Что касается второй, то тут нужно отметить один нюанс: знак минус перед произведением g*t ставится только в том случае, если вертикальная компонента v 0 *sin(θ) направлена вверх. В большинстве случаев так и происходит, однако, если бросить тело с высоты, направив его вниз, тогда в выражении для v y следует поставить знак "+" перед g*t.

Проинтегрировав формулы для компонент скорости по времени, и учитывая начальную высоту h полета тела, получаем уравнения для координат:

x = v 0 *cos(θ)*t
y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Вычисление дальности полета

При рассмотрении в физике движения тела к горизонту под углом, полезным для практического применения, оказывается расчет дальности полета. Определим ее.

Поскольку это перемещение представляет собой равномерное движения без ускорения, то достаточно подставить в него время полета и получить необходимый результат. Дальность полета определяется исключительно перемещением вдоль оси x (параллельно горизонту).

Время нахождения тела в воздухе можно вычислить, приравняв к нулю координату y. Имеем:

0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2

Это квадратное уравнение решаем через дискриминант, получаем:

D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,
t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2*g/2) =
= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

В последнем выражении один корень со знаком минуса отброшен, в виду его незначительного физического значения. Подставив время полета t в выражение для x, получаем дальность полета l:

l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.

Проще всего это выражение проанализировать, если начальная высота равна нулю (h=0), тогда получим простую формулу:

l = v 0 2 *sin(2*θ)/g

Это выражение свидетельствует, что максимальную дальность полета можно получить, если тело бросить под углом 45 o (sin(2*45 o) = м1).

Максимальная высота подъема тела

Помимо дальности полета, также полезно найти высоту над землей, на которую может подняться тело. Поскольку этот тип движения описывается параболой, ветви которой направлены вниз, то максимальная высота подъема является ее экстремумом. Последний рассчитывается путем решения уравнения для производной по t для y:

dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>
=> t = v 0 *sin(θ)/g.

Подставляем это время в уравнение для y, получаем:

y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/(2*g).

Это выражение свидетельствует, что на максимальную высоту тело поднимется, если его бросить вертикально вверх (sin 2 (90 o) = 1).

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Основные формулы криволинейного движения

1 . Скорость движения материальной точки

$\vec V=\frac{d\vec r}{dt}$ ,

где $\vec r$ - радиус-вектор точки.

2 . Ускорение материальной точки

$\vec a=\frac{d\vec V}{dt}=\frac{d^2\vec r}{dt^2}$ ,

$a=\sqrt{a^2_{\tau}+a^2_n}$ ,

где $a_{\tau}$ - тангенциальное ускорение, $a_n$ - нормальное ускорение.

3 . Тангенциальное ускорение

$a_{\tau}=\frac{dV}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}$

4 . Нормальное ускорение

$a_n=\frac{V^2}{R}$ ,

где $R$ - радиус кривизны траектории.

5 . для равнопеременного движения

$S=V_0t+\frac{at^2}{2}$

$V=V_0+at$

Выразив из второго равенства $t$ и подставив в первое, получим полезную формулу

$2aS=V^2-V_0^2$

Примеры решения задач

В задачах о движении тела в поле силы тяжести будем полагать $a=g=9.8$ м/с 2 .

Задача 1.

Снаряд вылетает из орудия с начальной скоростью 490 м/с под углом 30 0 к горизонту. Найти высоту, дальность и время полета снаряда, не учитывая его вращение и сопротивление воздуха.

Решение задачи

Найти: $h, S, t$

$V_0=490$ м/с

$\alpha=30^0$

Свяжем ИСО с орудием.

Составляющие скорости по осям Ox и Oy в начальный момент времени равны:

$V_{0x}=V_0\cos\alpha$ - остается неизменной во все время полета снаряда,

$V_{0y}=V_0\sin\alpha$ - меняется согласно уравнению равнопеременного движения

$V_y=V_0\sin\alpha-gt$ .

В наивысшей точке подъема $V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0$ , откуда

$t_1=\frac{V_0\sin\alpha}{g}$

Полное время полета снаряда

$t=2t_1=\frac{2V_0\sin\alpha}{g}=50$ c.

Высоту подъема снаряда определим из формулы пути равно замедленного движения

$h=V_{0y}t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\frac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g}=3060$ м.

Дальность полета определим как

$S=V_{0x}t=\frac{V_0^2\sin{2\alpha}}{g}=21000$ м.

Задача 2 .

Из точки А свободно падает тело. Одновременно из точки В под углом $\alpha$ к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе. Показать, что угол $\alpha$ не зависит от начальной скорости $V_0$ тела, брошенного из точки В, и определить этот угол, если $\frac{H}{S}=\sqrt3$ . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение задачи.

Найти: $\alpha$

Дано: $\frac{H}{S}=\sqrt3$

Свяжем ИСО с точкой В.

Оба тела могут встретиться на линии ОА (см. рис.) в точке С. Разложим скорость $V_0$ тела, брошенного из точки В, на горизонтальную и вертикальную составляющие:

$V_{0x}=V_0\cos\alpha$ ; $V_{0y}=V_0\sin\alpha$ .

Пусть от начала движения до момента встречи пройдет время

$t=\frac{S}{V_{0x}}=\frac{S}{V_0\cos\alpha}$ .

За это время тело из точки А опуститься на величину

$H-h=\frac{gt^2}{2}$ ,

а тело из точки В поднимется на высоту

$h=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2}=V_0\sin\alpha{t}-\frac{gt^2}{2}$ .

Решая последние два уравнения совместно, находим

$H=V_0\sin\alpha{t}$ .

Подставляя сюда ранее найденное время, получим

$\tan\alpha=\frac{H}{S}=\sqrt3$ ,

т.е. угол бросания не зависит от начальной скорости.

$\alpha=60^0$

Задача 3.

С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 40 м/с. Какова скорость тела через 3 с после начала движения? Какой угол образует с плоскостью горизонта вектор скорости тела в этот момент?

Решение задачи.

Найти: $\alpha$

Дано: $V_0=40$ м/с. $t=3$ c.

Свяжем ИСО с башней.

Тело одновременно участвует в двух движениях: равномерно в горизонтальном направлении со скоростью $V_0$ и в свободном падении со скоростью $V_y=gt$ . Тогда полная скорость тела есть

$V=\sqrt{V_0^2+g^2t^2}=50 м/с.$

Направление вектора скорости определяется углом $\alpha$ . Из рисунка видим, что

$\cos\alpha=\frac{V_0}{V}=\frac{V_0}{\sqrt{V_0^2+g^2t^2}}=0.8$

$\alpha=37^0$

Задача 4.

Два тела брошены вертикально вверх из одной точки одно вслед за другим с интервалом времени, равным $\Delta{t}$ , с одинаковыми скоростями $V_0$ . Через какое время $t$ после бросания первого тела они встретятся?

Решение задачи.

Найти: $t$

Дано: $V_0$ , $\Delta{t}$

Из анализа условия задачи, ясно, что первое тело поднимется на максимальную высоту и на спуске встретится со вторым телом. Запишем законы движения тел:

$h_1=V_0t-\frac{gt^2}{2}$

$h_2=V_0(t-\Delta{t})-\frac{g(t-\Delta{t})^2}{2}$ .

В момент встречи $h_1=h_2$ , откуда сразу получаем

$t=\frac{V_0}{g}+\frac{\Delta{t}}{2}$

Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли, сопротивление воздуха учитывать не будем. Пусть начальная скорость брошенного тела направлена под углом к горизонту $\alpha $ (рис.1). Тело брошено с высоты ${y=h}_0$; $x_0=0$.

Тогда в начальный момент времени тело имеет горизонтальную ($v_x$) и вертикальную ($v_y$) составляющие скорости. Проекции скорости на оси координат при $t=0$ равны:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_{0x}=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_{0y}=v_0{\sin \alpha .\ } \end{array} \right.\left(1\right).\]

Ускорение тела равно ускорению свободного паления и все время направлено вниз:

\[\overline{a}=\overline{g}\left(2\right).\]

Значит, проекция ускорения на ось X равна нулю, а на ось Y равна $a_y=g.$

Так как по оси X составляющая ускорения равна нулю, то скорость движения тела в этом направлении является постоянной величиной и равна проекции начальной скорости на ось X (см.(1)). Движение тела по оси X равномерное.

При ситуации, изображенной на рис.1 тело по оси Y будет двигаться сначала вверх, а затем виз. При этом ускорение движения тела в обоих случаях равно ускорению $\overline{g}.$ На прохождение пути вверх от произвольной высоты ${y=h}_0$ до максимальной высоты подъема ($h$) тело тратит столько же времени, сколько на падение вниз от $h$ до ${y=h}_0$. Следовательно, точки симметричные относительно вершины подъема тела лежат на одинаковой высоте. Получается, что траектория движения тела симметрична относительно точки-вершины подъема - и это парабола.

Скорость движения тела, брошенного под углом к горизонту можно выразить формулой:

\[\overline{v}\left(t\right)={\overline{v}}_0+\overline{g}t\ \left(3\right),\]

где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в момент броска. Формулу (3) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело.

Выражения для проекции скорости на оси принимают вид:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=v_0{\cos \alpha ,\ } \\ v_y=v_0{\sin \alpha -gt\ } \end{array} \left(4\right).\right.\]

Уравнение для перемещения тела при движении в поле тяжести:

\[\overline{s}\left(t\right)={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(5\right),\]

где ${\overline{s}}_0$ - смещение тела в начальный момент времени.

Проектируя уравнение (5) на оси координат X и Y, получим:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=v_0{\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ } \\ y={h_0+v}_0{\sin \left(\alpha \right)\cdot t-\frac{gt^2}{2}\ } \end{array} \left(6\right).\right.\]

Тело, двигаясь вверх, имеет по оси Y сначала равнозамедленное перемещение, после того, как тело достигает вершины, движение по оси Y становится равноускоренным.

Траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:

По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.

Время подъема и полета тела, брошенного под углом к горизонту

Время, затрачиваемое телом для того, чтобы достигнуть максимальной высоты подъема получают из системы уравнений (4). . В вершине траектории тело имеет только горизонтальную составляющую, $v_y=0.$ Время подъема ($t_p$) равно:

Общее время движения тела (время полета ($t_{pol}))$находим из второго уравнения системы (6), зная, что при падении тела на Землю $y=0$, имеем:

Дальность полета и высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту

Для нахождения горизонтальной дальности полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) следует подставить время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:

Из выражения (9) следует, что при заданной скорости бросания дальность полета максимальна при $\alpha =\frac{\pi }{4}$.

Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):

Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Во сколько раз изменится время полета тела, которое бросили с высоты $h$ в горизонтальном направлении, если скорость бросания тела увеличили в $n$ раз?

Решение. Найдем формулу для вычисления времени полета тела, если его бросили горизонтально (рис.2).

В качестве основы для решения задачи используем выражение для равноускоренного движения тела в поле тяжести:

\[\overline{s}={\overline{s}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{g}t^2}{2}\left(1.1\right).\]

Используя рис.2 запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:

\[\left\{ \begin{array}{c} X:x=v_0t;; \\ Y:y=h_0-\frac{gt^2}{2} \end{array} \right.\left(1.2\right).\]

Во время падения тела на землю $y=0,$ используем этот факт и выразим время полета из второго уравнения системы (1.2), имеем:

Как мы видим, время полета тела не зависит от его начальной скорости, следовательно, при увеличении начальной скорости в $n$ раз время полета тела не изменится.

Ответ. Не изменится.

Пример 2

Задание. Как изменится дальность полета тела в предыдущей задаче, если начальную скорость увеличить в $n$ раз?

Решение. Дальность полета - это расстояние, которое пройдет тело по горизонтальной оси. Это означает, что нам потребуется уравнение:

из системы (1.2) первого примера. Подставив вместо $t,$ время полета, найденное в (1.3), мы получим дальность полета ($s_{pol}$):

Из формулы (2.2) мы видит, что при заданных условиях движения дальность полета прямо пропорциональна скорости бросания тела, следовательно, во сколько раз увеличим начальную скорость, во столько раз увеличится дальность полета тела.

Ответ. Дальность полета тела увеличится в $n$ раз.